Naši matematičari riješili dva Erdősova problema: Nitko do sad u Hrvatskoj to nije uspio!

Bilo mi je drago kada sam shvatio da sam riješio problem, ali sam i razmišljao o tome gdje se još rješenje može implementirati: kako potencijalno iskoristiti istu ideju za rješavanje nekog drugog problema - govori nam Vjekoslav Kovač (44), redoviti profesor na Matematičkom odsjeku PMF-a, koji je nedavno riješio Erdősev problem #189, dok je Adrijan Beker, asistent i doktorski student, riješio problem #356, koje je za života postavio jedan od najvećih matematičara 20. stoljeća, Mađar Paul Erdős.

Naime, Erdős je postavio više stotina otvorenih matematičkih problema s elementarnim i jednostavnim formulacijama, ali koji su tik izvan dosega poznate matematike te iziskuju maštovita rješenja ili razvoj novih tehnika. Laički, Mađar je matematičarima ostavio otvorena pitanja kako bi se 'igrali' kroz znanost, dok ih matematičari smatraju podjednako važnim i naprosto simpatičnima.

- Britanski matematičar Thomas Bloom započeo je projekt prikupljanja velikog broja najzanimljivijih Erdősevih problema. Trenutno se na web stranici Erdős problems nalazi oko 500 problema, premda je nemoguće sakupiti baš sve probleme koje je Erdős postavio za života i samo oko petina ih je do danas riješena - objašnjava Kovač. On i Beker su do sada jedini hrvatski matematičari koji žive i rade u Hrvatskoj, a koji su riješili neki od Erdősevih problema.

Problem #189 

Problem #189 (postavili Erdős i Graham 1979. godine, slobodan prijevod sa stranice Erdős problems): Ako je ravnina na proizvoljan način obojena u konačno mnogo boja, mora li postojati neka boja koja sadrži vrhove pravokutnika bilo koje unaprijed zadane površine?

Kovač je rješenjem problema #189 pokazao da postoji bojenje ravnine u konačno mnogo boja takvo da ne postoji pravokutnik jedinične površine sa sva četiri vrha iste boje. To bojenje je poput jedne šarene beskonačne geografske karte, na kojoj se granice 'država' protežu duž dvaju pramenova hiperbola.

Problem #189 počeo je rješavati prije nekoliko mjeseci, ali sličnim pitanjima se bavio nekoliko godina.

- Znanstvenici uglavnom imaju svoju 'liniju' istraživanja. Ja se tako već više od 10 godina bavim matematičkom analizom i geometrijskom teorijom mjere. Pri istraživanju volimo i pogledati što su pitali poznati znanstvenici u tom području, pa smo Adrian i ja, neovisno jedan o drugom, pročešljali Erdősove članke, probrali omiljena otvorena pitanja i posvetili se njima - govori Kovač. Smatra da je prilično nevjerojatno da su imali sreće riješiti tako različite probleme u slično vrijeme.

- Nezrelo i riskantno je baviti se rješavanjem samo jedinog pitanja, odnosno problema. Rješenje konkretnog problema obično bude dio nekog opsežnijeg istraživanja: zato se treba potražiti što su drugi već dokazali ili pak ostavili otvorenim. Nekada problem rješavaš godinama, pa pauziraš, vratiš se kasnije, i nadaš se da je u međuvremenu matematika još napredovala ili da sada imaš bolje ideje za njegovo uspješno rješenje - objašnjava Kovač.

Problem #356 rješavao pet dana

Adrian Beker je zadatak #356 intenzivno rješavao oko pet dana i nije dio šireg projekta kao u slučaju profesora Kovača, ali je povezan s doktorskim radom i području koje njega zanima, a to je aritmetička kombinatorika ili kombinatorna teorija brojeva.

Završio je preddiplomski i diplomski studij matematike na University of Cambridge,a kao učenik dobio je više nagrada na natjecanjima iz matematike i informatike od koji ističemo zlatnu, srebrnu i dvije brončane medalje na Međunarodnoj matematičkoj olimpijadi. 

- Profesor Kovač je na predavanju prezentirao rješenje zadatka i tako i mene zainteresirao da pogledam čega sve ima. Izabrao sam problem #356. Dao sam pozitivan odgovor na pitanje Erdősa i Grahama iz 1980., o postojanju "mnogo" različitih vrijednosti uzastopnih zbrojeva za pogodno odabrani rastući konačni niz. Dokaz pokazuje da, za svaki prirodni broj n, postoje prirodni brojevi a1 - pokušao je objasniti Beker jer kako kaže problem #189 je ipak lakše prikazati geometrijski. 

- Problem #356 mi je izgledao pristupačan, smatrao sam da mogu brzo početi razmišljati o tom problemu sa znanjima i tehnikama kojim raspolažem. U startu sam bio relativno optimističan. Različiti su problemi, neki se rješavaju danima, a neki su teži i rješavaju se mjesecima ili čak godinama - napominje Beker koji vjeruje da će nekad kasnije u životu pokušati riješiti još neki problem.

- Možda nakon doktorskog, a možda za 10 godina kad steknem još znanja - zaključuje Beker.

Njihovi dokazi zasad su objavljeni samo u obliku preprinta (arxiv.org/abs/2309.09973 i arxiv.org/abs/2311.10087), ali sama rješenja su vrlo elegantna te su već provjerena i potvrđena na web stranici „Erdős problems“.